Navier-Stokes-Gleichung, in der Strömungsmechanik, eine partielle Differentialgleichung, die die Strömung inkompressibler Fluide beschreibt. Die Gleichung ist eine Verallgemeinerung der Gleichung, die von dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler im 18. Jahrhundert zur Beschreibung der Strömung inkompressibler und reibungsfreier Flüssigkeiten entwickelt wurde. Im Jahr 1821 führte der französische Ingenieur Claude-Louis Navier das Element der Viskosität (Reibung) für das realistischere und weitaus schwierigere Problem der viskosen Flüssigkeiten ein. In der Mitte des 19. Jahrhunderts verbesserte der britische Physiker und Mathematiker Sir George Gabriel Stokes diese Arbeit, wobei vollständige Lösungen nur für einfache zweidimensionale Strömungen erzielt wurden. Die komplexen Wirbel und Turbulenzen oder das Chaos, die in dreidimensionalen Flüssigkeits- (einschließlich Gas-) strömungen mit zunehmender Geschwindigkeit auftreten, haben sich für alle numerischen Analysemethoden als unlösbar erwiesen.
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Die ursprüngliche Gleichung von Euler lautet in moderner Schreibweise 
, wobei u der Geschwindigkeitsvektor des Fluids, P der Fluiddruck, ρ die Fluiddichte und ∇ der Gradientendifferentialoperator ist.
Die Navier-Stokes-Gleichung in moderner Schreibweise lautet 
, wobei u der Vektor der Flüssigkeitsgeschwindigkeit, P der Flüssigkeitsdruck, ρ die Flüssigkeitsdichte, υ die kinematische Viskosität und ∇2 der Laplacesche Operator ist (siehe Laplace-Gleichung).
Im Jahr 2000 wurde die Frage, ob es glatte, vernünftige Lösungen der Navier-Stokes-Gleichung in drei Dimensionen gibt, als Millennium-Problem bezeichnet, eines von sieben mathematischen Problemen, die vom Clay Mathematics Institute in Cambridge, Massachusetts, USA, für einen Sonderpreis ausgewählt wurden, für eine besondere Auszeichnung ausgewählt. Die Lösung eines jeden Millennium-Problems ist mit 1 Million Dollar dotiert.
