Ecuación de Navier-Stokes, en mecánica de fluidos, ecuación diferencial parcial que describe el flujo de fluidos incompresibles. La ecuación es una generalización de la ecuación ideada por el matemático suizo Leonhard Euler en el siglo XVIII para describir el flujo de fluidos incompresibles y sin fricción. En 1821, el ingeniero francés Claude-Louis Navier introdujo el elemento de viscosidad (fricción) para el problema más realista y mucho más difícil de los fluidos viscosos. A mediados del siglo XIX, el físico y matemático británico Sir George Gabriel Stokes mejoró este trabajo, aunque sólo se obtuvieron soluciones completas para el caso de flujos bidimensionales simples. Los complejos vórtices y turbulencias, o caos, que se producen en los flujos tridimensionales de fluidos (incluidos los gases) a medida que aumentan las velocidades han demostrado ser intratables para cualquier método de análisis numérico que no sea aproximado.
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La ecuación original de Euler, en notación moderna, es 
, donde u es el vector velocidad del fluido, P es la presión del fluido, ρ es la densidad del fluido, y ∇ indica el operador diferencial de gradiente.
La ecuación de Navier-Stokes, en notación moderna, es 
, donde u es el vector velocidad del fluido, P es la presión del fluido, ρ es la densidad del fluido, υ es la viscosidad cinemática, y ∇2 es el operador laplaciano (véase la ecuación de Laplace).
En el año 2000, la cuestión de si existen soluciones suaves y razonables para la ecuación de Navier-Stokes en tres dimensiones fue designada como Problema del Milenio, uno de los siete problemas matemáticos seleccionados por el Instituto de Matemáticas Clay de Cambridge, Massachusetts, Estados Unidos, para un premio especial. La solución de cada Problema del Milenio está valorada en un millón de dólares.
