Équation de Navier-Stokes, en mécanique des fluides, une équation aux dérivées partielles qui décrit l’écoulement des fluides incompressibles. L’équation est une généralisation de l’équation conçue par le mathématicien suisse Leonhard Euler au 18e siècle pour décrire l’écoulement de fluides incompressibles et sans frottement. En 1821, l’ingénieur français Claude-Louis Navier a introduit l’élément de viscosité (friction) pour le problème plus réaliste et beaucoup plus difficile des fluides visqueux. Au milieu du 19e siècle, le physicien et mathématicien britannique Sir George Gabriel Stokes a amélioré ces travaux, bien que des solutions complètes n’aient été obtenues que pour le cas d’écoulements simples à deux dimensions. Les tourbillons complexes et la turbulence, ou le chaos, qui se produisent dans les écoulements de fluides tridimensionnels (y compris les gaz) lorsque les vitesses augmentent se sont avérés insolubles pour toutes les méthodes d’analyse numérique, sauf celles qui sont approximatives.
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L’équation originale d’Euler, en notation moderne, est 
, où u est le vecteur vitesse du fluide, P est la pression du fluide, ρ est la densité du fluide, et ∇ indique l’opérateur différentiel de gradient.
L’équation de Navier-Stokes, en notation moderne, est 
, où u est le vecteur vitesse du fluide, P est la pression du fluide, ρ est la densité du fluide, υ est la viscosité cinématique, et ∇2 est l’opérateur laplacien (voir équation de Laplace).
En 2000, la question de savoir s’il existe des solutions lisses et raisonnables à l’équation de Navier-Stokes en trois dimensions a été désignée comme un problème du millénaire, l’un des sept problèmes mathématiques sélectionnés par le Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts, États-Unis, pour recevoir un prix spécial. La solution de chaque problème du millénaire vaut un million de dollars.
