Les spirales d’Archimède sont souvent utilisées dans l’analyse des bobines d’induction, des échangeurs de chaleur en spirale et des dispositifs microfluidiques. Aujourd’hui, nous allons démontrer comment construire une spirale d’Archimède en utilisant des équations analytiques et leurs dérivées pour définir un ensemble de courbes spiralées. Sur la base de ces courbes, nous allons ensuite créer une géométrie 2D avec une épaisseur spécifique, en l’extrudant pour obtenir une géométrie 3D complète.
Une brève introduction aux spirales d’Archimède
Grandement observées dans la nature, les spirales, ou hélices, sont utilisées dans de nombreuses conceptions d’ingénierie. En tant qu’ingénieur électrique, par exemple, vous pouvez enrouler des bobines inductives en spirale et concevoir des antennes hélicoïdales. En tant qu’ingénieur en mécanique, vous pouvez utiliser des spirales lors de la conception de ressorts, d’engrenages hélicoïdaux ou même du mécanisme d’horloge mis en évidence ci-dessous.
Un exemple de spirale d’Archimède utilisée dans un mécanisme d’horloge. Image par Greubel Forsey. Licence CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons.
Nous allons ici nous concentrer sur un type spécifique de spirale, celui qui est présenté dans le mécanisme illustré ci-dessus : une spirale d’Archimède. Une spirale d’Archimède est un type de spirale dont la distance entre les spires successives est fixe. Cette propriété lui permet d’être largement utilisée dans la conception de bobines plates et de ressorts.
On peut décrire une spirale d’Archimède par l’équation suivante en coordonnées polaires :
où a et b sont des paramètres qui définissent le rayon initial de la spirale et la distance entre ses spires successives, cette dernière étant égale à 2 \pi b. Notez qu’une spirale d’Archimède est aussi parfois appelée spirale arithmétique. Ce nom dérive de la progression arithmétique de la distance de l’origine à un point sur la même radiale.
Conception d’une géométrie paramétrée de spirale d’Archimède
Maintenant que nous avons introduit les spirales d’Archimède, voyons comment paramétrer et créer une telle conception pour l’analyse dans COMSOL Multiphysics.
Une spirale d’Archimède peut être décrite à la fois en coordonnées polaires et cartésiennes.
Pour commencer, nous devons convertir les équations de la spirale d’un système de coordonnées polaires à un système de coordonnées cartésiennes et exprimer chaque équation sous une forme paramétrique :
x_{composante}=rcos(\theta) \
y_{composante}=rsin(\theta)
\end{align*}
Cette transformation nous permet de réécrire l’équation de la spirale d’Archimède sous une forme paramétrique dans le système de coordonnées cartésiennes :
x_{composante}=(a+b\theta)cos(\theta) \
y_{composante}=(a+b\theta)sin(\theta)
\end{align*}
Dans COMSOL Multiphysics, il est nécessaire de décider de l’ensemble des paramètres qui vont définir la géométrie de la spirale. Ces paramètres sont le rayon initial de la spirale a_{initial}, le rayon final de la spirale a_{final}, et le nombre de tours souhaité n. Le taux de croissance de la spirale b peut alors être exprimé comme:
De plus, nous devons décider de l’angle de départ de la spirale theta_0 et de l’angle final theta_f. Commençons par les valeurs de theta_0=0 et theta_f=2 \pi n. Avec ces informations, nous sommes en mesure de définir un ensemble de paramètres pour la géométrie de la spirale.
Les paramètres utilisés pour construire la géométrie de la spirale.
Pour construire cette spirale, nous allons commencer avec un composant 3D et créer un plan de travail dans la branche Géométrie. Dans la géométrie du Plan de travail, nous ajoutons ensuite une Courbe paramétrique et utilisons les équations paramétriques référencées ci-dessus avec un angle variable pour dessiner une version 2D de la spirale d’Archimède. Ces équations peuvent être saisies directement dans le champ Expression de la courbe paramétrique, ou nous pouvons d’abord définir chaque équation dans une nouvelle fonction Analytique comme :
X_{fun}=(a+bs)cos(s) \\
Y_{fun}=(a+bs)sin(s) \
\end{align*}
La composante X de l’équation de la spirale d’Archimède définie dans la fonction Analytique.
La fonction Analytique peut être utilisée dans les expressions de la Courbe Paramétrique. Dans cette Courbe paramétrique, nous faisons varier le paramètre s de l’angle initial de la spirale, thêta_0, à l’angle final de la spirale, thêta_f=2 \pi n.
Les paramètres de la fonction Courbe paramétrique.
Les équations de spirale paramétrique utilisées dans la fonction Courbe paramétrique donneront une spirale représentée par une courbe. Construisons maintenant sur cette géométrie, en lui ajoutant de l’épaisseur afin de créer un objet solide 2D.
Jusqu’à ce point, notre spirale a été paramétrée en termes de rayon initial a_{initial}, de rayon final a_{final}, et de nombre de tours souhaité n. Maintenant, nous devons incorporer l’épaisseur comme un autre paramètre de contrôle dans l’équation de la spirale.
Commençons par la propriété principale de la spirale, qui stipule que la distance entre les tours de la spirale est égale à 2 \pi b. Ceci est également équivalent à \frac{a_{final}-a_{initial}}{n}. Pour intégrer l’épaisseur, nous représentons la distance entre chaque spire successive de la spirale comme une somme de l’épaisseur de la spirale et de l’écart restant entre les spires, thick+gap.
La distance entre les spires des spirales est définie en fonction des paramètres d’épaisseur de la spirale et d’écart.
Pour contrôler l’épaisseur et obtenir une distance identique entre les spires, la distance peut être exprimée comme:
distance=\frac{a_{initial}-a_{final}}{n}. \\N
gap=distance-épaisseur
\end{align*}
Après avoir défini l’épaisseur et exprimé l’écart entre les spires en termes d’épaisseur et de distance constante entre les axes de la spirale, nous pouvons réécrire le paramètre de croissance de la spirale en termes d’épaisseur comme :
distance=2\pi b \\
b=\frac{gap+thick}{2\pi}
\end{align*}
Nous voudrons également exprimer l’angle final de la spirale en termes de ses rayons initial et final :
\theta_{final}=2 \pi n \
a_{final}=\text{total distance}+a_{initial} \
a_{final}=2 \pi bn+a_{initial} \
n=\frac{a_{final}-a_{initial}{2 \pi b} \
\theta_{final}=\frac{2 \pi (a_{final}-a_{initial})}{2 \pi b}\
\theta_{final}=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b}
\end{align*}
Vous voulez faire partir la spirale d’un angle différent de zéro ? Si oui, vous devrez ajouter cet angle initial à votre angle final dans l’expression du paramètre : theta_f=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b}+theta_0.
Dupliquer deux fois la courbe de spirale existante et placer ces courbes avec un décalage de -\frac{thick}{2} et +\frac{thick}{2} par rapport à la courbe de spirale initiale nous permet de construire la spirale avec épaisseur. Pour positionner correctement les spirales supérieure et inférieure, nous devons nous assurer que les spirales décalées sont normales à la courbe de la spirale initiale. Ceci peut être réalisé en multipliant la distance de décalage \pm\frac{thick}{2} par le vecteur unitaire normal à la courbe de la spirale. Les équations des vecteurs normaux à une courbe sous forme paramétrique sont:
où s est le paramètre utilisé dans la fonction Courbe paramétrique. Pour obtenir une normale unitaire, nous devons diviser ces expressions par la longueur de la normale:
Nos équations paramétriques mises à jour pour la spirale d’Archimède avec un décalage de demi-épaisseur sont :
x_{component}=(a+bs)cos(s)-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2} \\N
y_{composante}=(a+bs)sin(s)+\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2}
\end{align*}
Ecrire ces équations dans les champs d’expression de la courbe paramétrique peut être assez long. Ainsi, nous introduisons la notation suivante:
N_x=-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}. \\
N_y=\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2 }}
\end{align*}
où chaque N_x et N_y est défini via la fonction Analytique dans COMSOL Multiphysics, de manière similaire à la façon dont nous avons défini X_{fun} et Y_{fun} pour la première courbe paramétrique. Dans la fonction, nous utilisons l’opérateur de différenciation, d(f(x),x), pour prendre la dérivée, comme illustré dans la capture d’écran suivante.
Exemples de l’opérateur de dérivation utilisé dans la fonction Analytique.
Les fonctions X_{fun}, Y_{fun}, N_x, et N_y peuvent alors être utilisées directement dans les expressions de la courbe paramétrique pour la courbe d’un côté:
x_{lower}=X_{fun}(s)+N_x(s)\frac{thick}{2}. \\
y_{lower}=Y_{fun}(s)+N_y(s)\frac{thick}{2}
\end{align*}
Les fonctions peuvent également être utilisées pour la courbe de l’autre côté:
x_{upper}=X_{fun}(s)-N_x(s)\frac{thick}{2}. \\N
y_{upper}=Y_{fun}(s)-N_y(s)\frac{thick}{2}
\end{align*}
Equations pour la deuxième des deux courbes paramétriques décalées.
Pour joindre les extrémités de deux courbes, on ajoute deux autres courbes paramétriques en utilisant une légère modification des équations mentionnées ci-dessus. Pour la courbe qui joint le centre de la spirale, nous devons évaluer X_{fun}, Y_{fun}, N_x, et N_y pour la valeur de départ de l’angle, thêta. Pour la courbe qui rejoint le côté extérieur de la spirale, nous devons évaluer la valeur finale de thêta. Par conséquent, la courbe de jonction au centre est :
X_{fun}(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac{thick}{2}. \\
Y_{fun}(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot\frac{thick}{2}
\end{align*}
La courbe de jonction extérieure, quant à elle, est:
X_{fun}(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \\
Y_{fun}(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot\frac{thick}{2}
\end{align*}
Dans les deux équations ci-dessus, s passe de -1 à +1, comme le montre la capture d’écran ci-dessous.
Equations pour la courbe qui rejoint une extrémité de la spirale.
Nous avons maintenant cinq courbes qui définissent la ligne centrale de la spirale et les quatre côtés du profil. Nous pouvons désactiver (ou même supprimer) la courbe décrivant la ligne centrale puisqu’elle n’est pas vraiment nécessaire, laissant juste le contour de la spirale. Une fois le contour de notre spirale défini, l’opération Convertir en solide peut être utilisée pour créer un objet géométrique unique. Cette spirale 2D peut finalement être extrudée en 3D via l’opération Extrude.
La séquence géométrique complète et la géométrie de spirale 3D extrudée.
Marques finales sur la modélisation des spirales d’Archimède dans COMSOL Multiphysics
Nous vous avons guidé à travers les étapes de création d’une spirale d’Archimède entièrement paramétrée. Avec cette géométrie de spirale, vous pouvez modifier n’importe lequel des paramètres et expérimenter différentes conceptions, ou même les utiliser comme paramètres dans une étude d’optimisation. Nous vous encourageons à utiliser cette technique dans vos propres processus de modélisation, en faisant progresser l’analyse de votre conception technique particulière basée sur la spirale.
